この記事では、含水比の高い粘性土が厚く堆積する地盤における「ヒービングの検討」とセメント系固化材による深層混合処理工法で掘削側を地盤改良する場合の計算をエクセルを用いて計算してみた結果をご紹介します。
設計の考え方とフローチャート
設計の考え方は、社団法人日本道路協会が平成11年3月に発行した道路土工仮設構造物工指針（以下、H11道仮という。）に基づいています。
下記の画像は、設計のフローチャートです。クリックすると別ウィンドウで開きます。
| 📌NOTE |
- ヒービングの検討については、H11道仮p.83にも掲載されていますが、防止対策の設計手法が確立されていないためか、詳細な設計方法の記載がありません。
- これから解説する内容は、土木学会の「トンネル標準示方書（開削編）に基づいた仮設構造物の設計計算例（平成５年６月）」のp.95に記載の設計計算例を参考に、より詳細な設計計算例として作成したものとなっています。
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1. 設計条件
1-1. 掘削条件の設定
- 仮設土留め壁の２段切ばり式鋼矢板
- 掘削深さ $H=6.5\ \mathrm{m}$
- 掘削面から最下段切ばりまでの高さ $ℓ=2.8\ \mathrm{m}$
- 矢板の根入れ長 $D=3.0\ \mathrm{m}$
- 掘削幅 $B=9.3\ \mathrm{m}$
- 地表面の上載荷重 $q=10\ \mathrm{kN/m^2}$
1-2. 地盤物性値
地盤の各数値を表にすると下記のとおりです。
|
層厚
$h$
(m) |
土質 |
地下水
(m) |
単位体積重量
$\gamma$
(kN/m³) |
$\gamma h$
(kN/m²) |
$\Sigma \gamma h$
(kN/m²) |
せん断抵抗角
$\phi$
(度) |
粘着力
$c$
(kN/m²) |
変形係数
$E_{50}$
(kN/m²) |
| 1層 |
1.0 |
粘性 |
－ |
16 |
16 |
16 |
0 |
10 |
300 |
| 2層 |
1.5 |
粘性 |
－ |
16 |
24 |
40 |
0 |
12 |
400 |
| 3層 |
1.2 |
粘性 |
－ |
16 |
19 |
59 |
0 |
15 |
500 |
| 4層 |
2.8 |
粘性 |
－ |
16 |
45 |
104 |
0 |
15 |
500 |
| 掘削$\sum$ |
6.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 5層 |
10.0 |
粘性 |
－ |
16 |
160 |
264 |
0 |
15 |
500 |
2. 安定数の計算（H21道仮p.83）
$$
\begin{equation}
\begin{split}
N_b &= \frac{\gamma H}{c} \\[5px]
&= \frac{104}{15} \\[5px]
&= 6.93
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $\gamma H$：掘削底面までの各層における単位体積重量と層厚の積の総和（kN/m²）
$\gamma H = \Sigma \gamma h$（４層まで）
- $c$：掘削底面付近の地盤の粘着力（kN/m²）
$c = 15$（４層）
安定数$N_b$が3.14以上であるため、ヒービングの検討をする。
具体的には、掘削面下に発生するすべりを設定し、安全率を下回る場合は、地盤改良を検討する。
3. ヒービングの検討
最下段切ばり右端を中心としたすべり円を仮定し、中心と掘削面左端とを結ぶ直線を半径とする。
すべり円の半径
$$
\begin{equation}
\begin{split}
x &= \sqrt{ℓ^2+B^2} \\[5px]
&= \sqrt{2.8^2+9.3^2} \\[5px]
&= 9.71\ \mathrm{m}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
掘削面側におけるすべり円の鉛直線までの回転角
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\alpha &= \arccos{\frac{ℓ}{x}} \\[5px]
&= \arccos{\frac{2.8}{9.71}} \\[5px]
&= 1.28 \ \mathrm{rad}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
| 📌NOTE |
- すべり円の半径は、最大値を用いて計算します。
- その理由は、より大きい半径のすべり円の安全率が最も低くなる傾向があるためです。
- ただし、掘削幅が非常に大きい場合は、トレンチカットなど、すべり円が大きくなり過ぎない工夫を組み合わせることが一般的です。
|
抵抗モーメント
$$
\begin{equation}
\begin{split}
M_r &= x\int_{0}^{\pi/2+\alpha}c_0 x d \theta \\[5px]
&= x \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right)c_0 x \\[5px]
&= 9.71 \left( \frac{3.14}{2}+1.28 \right) 15 \cdot 9.71 \\[5px]
&= 4031.40 \ \mathrm{kN・m}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $c_0$：すべり円の粘着力(kN/m²)
$c_0=15$
（この計算例では、最下段切ばり以深の各土層の粘着力が一定であるため、５層の値を用いる。）
滑動モーメント
$$
\begin{equation}
\begin{split}
M_d &= W \frac{x}{2} \\[5px]
&= x ( \gamma H + q ) \frac{x}{2} \\[5px]
&= 9.71 ( 104 + 10 ) \frac{9.71}{2} \\[5px]
&= 5376.81 \ \mathrm{kN・m}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $W$：掘削底面に作用する背面側x範囲の荷重（kN）
- $\gamma H$：掘削底面までの各層における単位体積重量と層厚の積の総和（kN/m²）
$\gamma H = \Sigma \gamma h$（４層まで）
安全率
よって、安全率は、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
F_s &= \frac{M_r}{M_d} \\[5px]
&= \frac{4031.40}{5376.81} \\[5px]
&= 0.75
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
安全率が1.2未満であるため、対策を行う。
4. 地盤改良の設計条件
この計算例では、セメント系固化材による深層混合処理工法で掘削面側の地盤改良を検討する。
- 改良体の粘着力 $c_p=200\ \mathrm{kN/m^2}$
- 改良体の変形係数 $E_p=20000\ \mathrm{kN/m^2}$
- 改良地盤における単位面積当たりの改良体の割合 $a_p=95 \ \mathrm{\%}$
- 改良地盤の単位体積重量 $\gamma_p=16.5\ \mathrm{kN/m^3}$
| 📌NOTE |
- 地盤改良において、近年では深層混合処理工法や、薬液注入工法の実績が多いです。生石灰杭工法は、昭和50年台まで活用されていましたが、軟弱粘性土の改良では強度増加に限度があるため、現在では利用されている地域が限定的です。
- また、深層混合処理工法では、機械撹拌方式と高圧噴射方式があり、矢板の近接部では高圧噴射方式を採用する事例が多くなっています。
- なお、この設計例ではこうした設計の細部まで検討していませんので、実際にセメント系固化材による深層混合処理工法で地盤改良する場合は、「セメント系固化材による地盤改良マニュアル第５版」p209を参照しましょう。
|
5. 改良地盤の粘着力および改良厚
5-1. 改良地盤の粘着力の算出
改良地盤の粘着力$c’$は、改良体と非改良体の複合地盤として、下記のとおり算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
c'= c_p \cdot a_p + c_0'(1-a_p)
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $c’$：改良地盤の粘着力（kN/m²）
- $c_0’$：改良体の破壊ひずみを基に一軸圧縮強度を補正した場合の原地盤の粘着力（kN/m²）
$$
\begin{equation}
\begin{split}
c_0'= \kappa c_0
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
改良体の破壊ひずみに対応する原地盤の低減率$\kappa$は下記のとおり算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\kappa &= \frac{q_u'}{q_{u0}} = \frac{E \cdot \varepsilon_{fp}}{q_{u0}} = \frac{E \cdot q_{up} / E_p}{q_{u0}} \\[5px]
&= \frac{E \cdot q_{up}}{E_p \cdot q_{u0}} = \frac{E \cdot 2c_p}{E_p \cdot 2c_0} = \frac{E \cdot c_p}{E_p \cdot c_0} \\[5px]
&= \frac{500 \cdot 200}{20000 \cdot 15} \\[5px]
&= 0.33
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
$\kappa$：改良体の破壊ひずみに対応する原地盤の低減率
$q_u’$：改良体の破壊ひずみにおける原地盤の一軸圧縮強度（kN/m²）
$$
\begin{equation}
\begin{split}
q_u'=E \cdot \varepsilon_{fp}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
$q_{u0}$：原地盤の一軸圧縮強度（kN/m²）
$$
\begin{equation}
\begin{split}
q_{u0}=2c_0
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
$c_0$：原地盤の粘着力（kN/m²）
（この計算例では５層の値を用いる）$c_0=15$
- $E$：原地盤の変形係数（kN/m²）
（この計算例では５層の値を用いる）$E=500$
$\varepsilon_{fp}$：破壊ひずみ
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\varepsilon_{fp}=\frac{q_{up}}{E_p}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
$q_{up}$：改良体の一軸圧縮強度（kN/m²）
$$
\begin{equation}
\begin{split}
q_{up}=2c_p
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
よって、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
c_0' &= \kappa c_0 \\[5px]
&= 0.33 \cdot 15 \\[5px]
&= 5.00
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split}
c' &= c_p \cdot a_p + c_0'(1-a_p) \\[5px]
&= 200 \cdot 0.95 + 5.00(1-0.95) \\[5px]
&= 190.25
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
5-2. 改良厚の算出
まず、原地盤と改良地盤における抵抗モーメントの和を算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
M_r' &= x \int_{0}^{\pi - \beta}c_0' x d \theta + x \int_{\pi - \beta}^{\pi/2 + \alpha}c' x d \theta \\[5px]
&= x \int_{0}^{\pi - \beta} 5.00 x d \theta + x \int_{\pi - \beta}^{\pi/2 + \alpha}190.25 x d \theta \\[5px]
&= x (\pi - \beta) 5.00 x + x \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) 190.25 x - x ( \pi - \beta) 190.25 x \\[5px]
&= 5.00 \pi x^2 - 5.00 \beta x^2 + 190.25 \frac{\pi}{2}x^2 + 190.25 \alpha x^2 - 190.25 \pi x^2 + 190.25 \beta x^2 \\[5px]
&= -90.13 \pi x^2 + 185.25 \beta x^2 + 190.25 \alpha x^2 \\[5px]
&= -90.13\cdot 3.14 \cdot 9.71^2 + 185.25 \beta 9.71^2 + 190.25 \cdot 1.28 \cdot 9.71^2 \\[5px]
&= 17474.63 \beta - 3766.53
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $\beta$：すべり円の中心と改良地盤の左下端を結ぶ直線が、最下段切ばりとなす角
次に、滑動モーメントに安全率を乗じて、必要な抵抗モーメントを算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
M_r' &= 1.2 M_d \\[5px]
&= 1.2 \cdot 5376.81 \\[5px]
&= 6452.17 \ \mathrm{kN・m}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
よって、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
17474.63 \beta - 3766.53 = 6452.17
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
以上より、$\beta$ は次のとおり算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\beta &= \frac{6452.17 + 3766.53}{17474.63} \\[5px]
&= 0.58 \ \mathrm{rad}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
改良厚 $t$ は次のとおり算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
t &= x \sin(\beta) - ℓ \\[5px]
&= 9.71 \sin(0.58) - 2.8 \\[5px]
&= 2.561 \\[5px]
&\fallingdotseq 2.6 \ \mathrm{m}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
6. 浮き上がりの照査
改良地盤を両端が固定された梁と仮定する。
すべり円は、改良地盤の右下端を中心とする。
半径 $B$（掘削幅）の円弧と仮定する。
改良地盤の下面に作用するモーメントより、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
u B \frac{B}{2} &= \{ \gamma (H + t)+q \} B\frac{B}{2} - B \int_{0}^{\pi}c B d \theta\\[5px]
&= \{ \gamma (H + t)+q \} B\frac{B}{2} - B \pi c B
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
よって、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
u &= \gamma H + \gamma t +q - 2 \pi c \\[5px]
&= 104 + 16 \cdot 2.6 + 10 - 2 \cdot 3.14 \cdot 15 \\[5px]
&= 61.35 \ \mathrm{kN/m^2}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
下式のとおり、浮き上がりに対する抵抗力を浮き上がり荷重で除して安全率を求める。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
F_s &= \frac{f_L + f_R + \gamma_p t B}{u B} \\[5px]
&= \frac{c' t + c' t + \gamma_p t B}{u B} \\[5px]
&= \frac{190.25 \cdot 2.6 + 190.25 \cdot 2.6 + 16.5 \cdot 2.6 \cdot 9.3}{61.35 \cdot 9.3} \\[5px]
&= 2.43
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $f_L$：改良地盤の左側における矢板との摩擦抵抗力
- $f_R$：改良地盤の右側における矢板との摩擦抵抗力
よって、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
F_s = 2.43 \geqq 許容安全率 1.2 \ \ \mathrm{\bbox[5px, border: 2px solid gray]{OK}}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
7. 曲げ破壊の照査
改良地盤に作用する「浮き上がり荷重」と「土圧による圧縮力」による曲げ圧縮応力度を計算し、照査する。
7-1. 浮き上がり荷重によって改良地盤に生じる最大曲げモーメント
改良地盤を「両端固定の単純ばり」と仮定すると、浮き上がり荷重(等分布荷重)による最大の曲げモーメントは、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
M_{max} &= \frac{(u- \gamma_p t)B^2}{8} \\[5px]
&= \frac{(61.35 - 16.5 \cdot 2.6) \cdot 9.3^2}{8} \\[5px]
&= 199.49 \ \mathrm{kN・m}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
7-2. 改良地盤に作用する土圧（主働土圧）
計算方法は慣用法において根入れ長の決定に用いる土圧で計算する。(H21道仮p28, 35)
主働側圧は次の式で求めます。（H11道仮p40）
$$
\begin{align}
p_a & =K_a\ (\sum\gamma\ h+q)-2c\sqrt{K_a}\nonumber \\
\end{align}
$$
ここに、
- $p_a$：主働側圧（kN/m²）
- $K_a$：主働土圧係数
$K_a=\tan^2(45°-\phi/2)$
- $\phi$：せん断抵抗角
- $\sum \gamma\ h$：着目点における地盤の有効土かぶり圧（kN/m²）
- $\gamma$：各層の土の湿潤単位体積重量（kN/m³）
- $h$：着目点までの各層の層厚（m）
- $q$：地表面までの上載荷重（kN/m²）
- $c$：土の粘着力（kN/m²）
| 📌NOTE |
- 主働側圧については、H11道仮p35, 36に砂質土と粘性土でそれぞれ算出式が記載されています。
- 粘性土の場合は、上記の式では、負の値になる場合があることから、下限値を0.3γhとし、算出した土圧と比較して大きい方を用いるものになっています。
- なお、この設計例では上記の土圧を採用していますが、対象となる現場の条件により設計者が適切な計算方法を選定すべきと考えられます。
|
各層の主働側圧を表計算すると次のとおり。
|
層厚
$h$
(m) |
$K_a$ |
$K_a(\sum \gamma \ h+q)-2c \sqrt K_a$
(kN/m²) |
$0.3\gamma h$ |
主働側圧
$p_a$
(kN/m²) |
| 1層 |
1.0 |
1.000 |
-10.000
6.000 |
0.000
4.800 |
$p_{a1上}=$0.000
$p_{a1下}=$6.000 |
| 2層 |
1.5 |
1.000 |
2.000
26.000 |
4.800
12.000 |
$p_{a2上}=$4.800
$p_{a2下}=$26.000 |
| 3層 |
1.2 |
1.000 |
20.000
39.200 |
12.000
17.760 |
$p_{a3上}=$20.000
$p_{a3下}=$39.200 |
| 4層 |
2.8 |
1.000 |
39.200
84.000 |
17.760
31.200 |
$p_{a4上}=$39.200
$p_{a4下}=$84.000 |
| 5層 |
2.9 |
1.000 |
84.000
125.600 |
31.200
43.680 |
$p_{a5上}=$84.000
$p_{a5下}=$125.600 |
7-3. 改良地盤に作用する軸力
主働側のモーメントを算出する。
まず、側圧を求める。各層を２つに分割した各三角形の面積が側圧となるので、表計算すると下記のとおり。
|
|
計算式
底辺×高さ/2
|
側圧
$P_a$
(kN) |
| 4層 |
①
② |
39.200 × 2.8 /2
84.000 × 2.8 /2 |
54.880
117.600 |
| 5層 |
③
④ |
84.000 × 2.6 /2
125.600 × 2.6 /2 |
109.200
163.280 |
次に、アーム長を求める。アーム長は、切ばり位置から各三角形の重心までの距離となる。
|
|
計算式
（切ばり位置から三角形
重心までの鉛直距離） |
アーム長
$y$
(m) |
| 4層 |
①
② |
2.8/3×1
2.8/3×2 |
0.933
1.867 |
| 5層 |
③
④ |
2.8+2.6/3×1
2.8+2.6/3×2 |
3.667
4.533 |
主働土圧による作用モーメント$M_a$は、「側圧 $P_a$」に「アーム長$y$」を乗じて算出する。
$$
M_a = P_a \cdot y
$$
表計算すると下記のとおり。
|
|
主働側の側圧
$P_a$
(kN) |
アーム長
$y$
(m) |
作用モーメント
$M_a$
(kN・m) |
| 4層 |
① |
54.880 |
0.933 |
51.221 |
|
② |
117.600 |
1.867 |
219.520 |
| 5層 |
③ |
109.200 |
3.667 |
400.400 |
|
④ |
163.280 |
4.533 |
740.203 |
| $\sum M_a=$ |
|
|
|
1411.344 |
以上より、主働土圧による作用モーメントは下式のとおりとなる。
$$
\sum M_a = 1411.344 \ \mathrm{kN・m}
$$
受働側のモーメントは、改良地盤の高さ方向の中央に軸力$N_p$が作用するものし、算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\sum M_p &= N_p ( \frac{t}{2}+ℓ) \\[5px]
&= N_p ( \frac{2.6}{2}+2.8) \\[5px]
&= 4.100 N_p \ \mathrm{kN・m}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
モーメントのつり合いより、改良地盤の高さ方向の中央に作用する軸力$N_p$を求める。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\sum M_p &= \sum M_a \\[5px]
4.100 N_p &= 1411.344 \\[5px]
N_p &= 344.230 \ \mathrm{kN}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
7-4. 改良地盤に作用する応力の照査
改良地盤の曲げ圧縮応力度は次式で算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\sigma &= \frac{N_p}{A} +\frac{M_{max}}{Z} \\[5px]
&= \frac{344.230}{2.6} +\frac{199.492}{1.1} \\[5px]
&= 309.460 \ \mathrm{kN/m^2}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $A$：改良地盤の軸方向断面積（m²）
- $A = b \times t = 1 \times 2.6 =2.6$
- $Z$：改良地盤の断面係数（m³/m）
- $\displaystyle Z = \frac{b \times t^2}{6} = \frac{1 \times 2.6^2}{6} =1.1$
また、改良地盤の許容圧縮応力度を次式で算出する。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
q_{up} &= \frac{2c'}{F_s} \\[5px]
&= \frac{2 \cdot 190.25}{1.2} \\[5px]
&= 317.083 \ \mathrm{kN/m^2}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
よって、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\sigma = 309.460 < q_{up}=317.083 \ \ \mathrm{\bbox[5px, border: 2px solid gray]{OK}}
\end{split}\nonumber
\end{equation}
$$
エクセルブック
計算を記載したエクセルブックは下記からダウンロードしてください。
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