断面二次モーメントとは？
断面二次モーメントとは、部材断面形状による固有の係数で、曲げモーメントによる部材の応力度などを求めるために用いられます。
曲げを受ける部材の中立軸から任意の距離での曲げ応力度は、断面二次モーメントを用いて次式のとおり算出されます。
$$
\begin{equation}
\sigma=\frac{M}{I}y \nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $\sigma$：曲げ応力度(N/mm²)
- $M$：断面に作用する曲げモーメント(N・mm)
- $I$：断面二次モーメント(mm⁴)
- $y$：中立軸からの距離(mm)
上式のとおり、断面二次モーメントが大きいと、分母が大きくなるため、断面に発生する曲げ応力度が小さくなります。
つまり、曲げ強度が大きくなり、たわみにくくなるということです。
求め方
一般式
$$
\begin{equation}
\begin{split}
I_x &= a_1y_1^2+a_2y_2^2+ \dots + a_ny_n^2 \\[5px]
&= \sum _{i=1}^n(a_iy_i^2)
\end{split} \nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $I_x$：X軸に関する断面二次モーメント(mm⁴)
- $a$：断面内の部分要素の面積(mm²)
- $y$：X軸からの距離(mm)
または、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
I_x = \int y^2 \ dA
\end{split} \nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
- $I_x$：x軸に関する断面二次モーメント(mm⁴)
- $A$：断面内の微小面積(mm²)
- $y$：X軸からの距離(mm)
長方形断面における図心軸の場合
$$
\begin{equation}
\begin{split}
I_x & = \int_{-h/2}^{+h/2}y^2 \ dA \\[5px]
& = \int_{-h/2}^{+h/2}y^2 \ b \ dy \\[5px]
& = \frac{b}{3} \biggr[ \ y^3 \ \biggr]_{-h/2}^{+h/2} \\[5px]
& = \frac{b}{3} \left\{ \left(\frac{h}{2} \right)^3 - \left(-\frac{h}{2} \right)^3 \right\} \\[5px]
& = \frac{b}{3} \left\{ \frac{h^3}{8} + \frac{h^3}{8} \right\} \\[5px]
& = \frac{b \cdot h^3}{12}
\end{split} \nonumber
\end{equation}
$$
ここに、
長方形断面の場合、断面二次モーメントの大きさは、幅に比例、高さの三乗に比例することが式から分かります。
使い方
断面二次モーメントは、部材の応力度の算出のほか、断面係数の算出や、仮設土留め工の「根入れ長を算出するための杭の特性値」の計算などに登場します。
具体例は次のとおり。
